“O cientista não estuda a natureza porque ela é útil. Ele estuda porque tem prazer nisso, e tem prazer porque é bonito.” (Henri Poincaré)

Há muitos exemplos de fatos naturais que pode ser descritos em termos matemáticos. Bons exemplos são as formas de flocos de neve, a geometria fractal do brócolis romanesco ou como a auto-semelhança rege o crescimento das plantas.

Utilizarei a ferramenta R para fazer alguns gráficos bonitos. Esse poder gráfico pode ser usada para produzir imagens artísticas como ilustrada na figura, que é inspirado em como as plantas se organiza. Esse padrão de distribuição é chamado filotaxia ou phyllotaxis e servirá de base nesse projeto. 






#Instalar pacotes necessários
#install.packages("tidyverse")
#install.packages("gridExtra")


# Carregar pacote ggplot2
library(ggplot2)
library(cowplot)

2. Desenhar pontos em um círculo

Desenhar 50 pontos em um círculo com raio 1. Como tudo (x, y) ponto deve estar em um círculo unitário, segue que x² + y² = 1. Nós podemos conseguir isso usando o famoso Identidade Trigonométrica Pitagórica que afirma sen²(θ) + cos²(θ) = 1 para qualquer número real θ. 

# Fornecer os dados para plot do círculo
t <- seq(0, 2*pi, length.out = 50)
x <- sin(t)
y <- cos(t)
df <- data.frame(t, x, y)

# Fazer um gráfico de dispersão de pontos em um círculo
p <- ggplot(df, aes(x, y))
p + geom_point()

3. Torná-lo harmonioso com o Ângulo de Ouro

As plantas organizam suas folhas em espirais. Uma espiral é uma curva que começa na origem e se afasta da origem à medida que gira em torno dela. No gráfico acima todos os nossos pontos estão à mesma distância da origem. Uma maneira simples de organizar elas em espiral é multiplicar x e y por um fator que aumenta para cada ponto. Nós poderíamos usar t como esse fator, pois atende a essas condições. Usarei o Ângulo de Ouro para fazer algo mais harmonioso.

Golden Angle = π(3 − √5)

Esse número é inspirado pela Proporção Áurea, um dos números mais famosos na história da matemática. Imagine que você tenha uma circunferência e a divida em dois arcos com comprimentos a e b, com a>b (um arco é uma parte da circunferência). O ângulo divide o círculo de modo que a/b=(a+b)/a é chamado de Ângulo de Ouro. Em outras palavras: o Ângulo de Ouro divide um círculo de modo que a razão entre o arco grande e o pequeno seja a Proporção Áurea. Essa imagem da wikipédia ilustra tal definição.

O Ângulo de Ouro é o ângulo subtendido pelo arco menor (vermelho). Tanto a Proporção Áurea quanto o Ângulo de Ouro aparecem em lugares inesperados na natureza. Além das pétalas de flores e folhas de plantas, você as encontrará em cabeças de semente, pinhas, sementes de girassol, conchas, galáxias espirais, furacões, entre outros. 

# Defina o número de pontos
points <- 1000

# Defina o Ângulo de Ouro
angle <- pi * (3 - sqrt(5))

t <- (1:points) * angle
x <- sin(t)
y <-cos(t)
df <- data.frame(t, x, y)

# Fazer um gráfico de dispersão em uma espiral
p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point()

4. Remova tudo que é desnecessário

Um gráfico contém vários elementos que define sua aparência deixando-o mais apresentável e compreensível. Para fazer arte não é preciso da maioria desses elementos. 

df <- data.frame(t, x, y)

# Fazer um gráfico de dispersão em uma espiral e remover alguns componentes
p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point() +
theme(panel.background = element_rect(fill = "white"), # remove o fundo em cinza
      panel.grid=element_blank(), #remove a grade de linhas brancas horizontais e verticais
      axis.ticks=element_blank(), # remove uns tracinhos que ficam no eixo x e y
      axis.title=element_blank(), # remove o título de cada eixo
      axis.text=element_blank()) # remove os textos que representa os valores de cada eixo)

5. Um pouco de maquiagem: cor, tamanho, transparência

O desenho está começando a parecer como uma planta, mas pode ser melhor. Mudando a cor, transparência e tamanhos dos pontos, a imagem se tornará mais aparente. 

p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point(size=5, alpha=.5, colour="darkgreen") + #ajustando tamanho dos pontos, transparência(alpha) e cor
theme(panel.background = element_rect(fill = "white"),
      panel.grid=element_blank(),
      axis.ticks=element_blank(),
      axis.title=element_blank(),
      axis.text=element_blank())

6. Brincando com aesthetics: O dente-de-leão

A imagem abaixo, irá lembrar um dente-de-leão. 

p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point(aes(size=t), alpha=.5, shape=8, colour="yellow") + #ajustando tamanho dos pontos, forma e cor
theme(panel.background = element_rect(fill = "white"),
      panel.grid=element_blank(),
      axis.ticks=element_blank(),
      axis.title=element_blank(),
      axis.text=element_blank(),
      legend.position = "none") # remove o painel de legendas

7. Colocar tudo junto: o girassol

As plantas não usam apenas o Ângulo de Ouro para organizar as folhas. O Ângulo de Ouro também é encontrado no arranjo de sementes de girassol. 

p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point(aes(size=t), alpha=.5, shape=17, colour="yellow") +
theme(panel.background = element_rect(fill = "darkmagenta"),
      panel.grid=element_blank(),
      axis.ticks=element_blank(),
      axis.title=element_blank(),
      axis.text=element_blank(),
      legend.position = "none")

8. Modificando o ângulo

Os padrões são muito sensíveis ao ângulo entre os pontos que formam a espiral. Pequenas mudanças no ângulo pode gerar imagens muito diferentes.

# Mudando o valor do ângulo
angle <- 2.0
points <- 1000

t <- (1:points)*angle
x <- sin(t)
y <- cos(t)
df <- data.frame(t, x, y)

p <- ggplot(df, aes(x*t, y*t))
p + geom_point(aes(size=t), alpha=.5, shape=11, colour="yellow") +
    theme(panel.background = element_rect(fill = "darkmagenta"),
      panel.grid=element_blank(),
      axis.ticks=element_blank(),
      axis.title=element_blank(),
      axis.text=element_blank(),
      legend.position="none")

9. Tudo junto agora: flores imaginárias

As técnicas que usamos até agora nos permitem criar um número infinito de padrões inspirados na natureza: o único limite é nossa imaginação.

A imagem ao lado esquerdo é uma variação simples da flor anterior e é em essência, muito similar à primeira figura que foi traçado 50 pontos em um círculo 










func <- function(angle = 13 *pi/180 , points = 2000, cor="magenta4") {
  t <- (1:points)*angle
  x <- sin(t)
  y <- cos(t)
  df <- data.frame(t, x, y)
  
  ggplot(df, aes(x*t, y*t)) +         
      geom_point(size=100, alpha=.1, shape=1, colour=cor) +
      theme(panel.background = element_rect(fill = "white"),
        panel.grid=element_blank(),
        axis.ticks=element_blank(),
        axis.title=element_blank(),
        axis.text=element_blank(),
        legend.position="none")
}


plot_grid(func(), func(angle = 42, cor="#E02F5B"), labels = "AUTO")